Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）如果對(duì)于任意，都有，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，先將代入，得到解析式，對(duì)求導(dǎo)，得到為切線的斜率，為切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而利用點(diǎn)斜式得到切線方程；第二問(wèn)，將代入，得到，所以將對(duì)于任意，都有轉(zhuǎn)化成了，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，通過(guò)判斷函數(shù)單調(diào)遞增，從而得，即得證.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，由已知得，故， 2分

所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071106011703647324/SYS201507110601197553305508_DA/SYS201507110601197553305508_DA.020.png">，

所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，

即； 5分

（2）【解析】
由，得，又，

故． 7分

設(shè)函數(shù)，

則． 8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071106011703647324/SYS201507110601197553305508_DA/SYS201507110601197553305508_DA.026.png">，

所以，，

所以當(dāng)時(shí)，， 10分

故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時(shí)，． 12分

因?yàn)閷?duì)于任意，都有成立，

所以對(duì)于任意，都有成立．

所以． 14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.