Question

若a≠1，求函數(shù)f（x）=x-

1

2

ax²-ln（x+1）的極值點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值即可，注意對(duì)a的討論．

解答： 解：f′（x）=1-ax-

1

x+1

=

-ax2+(1-a)x

x+1

（x∈（-1，+∞）…（2分）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=

x

x+1

∴f（x）在（-1，0）上遞減，（0，+∞）上遞增
∴f（x）的極小值點(diǎn)為0，無(wú)極大值點(diǎn)           …（4分）
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=

-ax(x- 1-a a )

x+1

∵

1-a

a

=

1

a

-1＜-1，
∴f（x）在（-1，0）上遞減，（0，+∞）上遞增，
∴f（x）的極小值點(diǎn)為0，無(wú)極大值點(diǎn)．…（6分）
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f′（x）=

-ax(x- 1-a a )

x+1

∵

1-a

a

＞0，
∴f（x）在（-1，0）上遞減，（0，

1-a

a

）上遞增，（

1-a

a

，+∞）上遞減，
∴f（x）的極小值點(diǎn)為0，極大值點(diǎn)為

1-a

a

，…（8分）
（4）當(dāng)a＞1時(shí)，f′（x）=

-ax(x- 1-a a )

x+1

∵

1-a

a

=

1

a

-1∈（-1，0），
∴f（x）在（-1，

1-a

a

）上遞減，（

1-a

a

，+∞）上遞增，（0，+∞）上遞減，
∴f（x）的極小值點(diǎn)為

1-a

a

，極大值點(diǎn)為0．…（10分）
綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的極小值點(diǎn)為0，無(wú)極大值點(diǎn)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的極小值點(diǎn)為0，極大值點(diǎn)為

1-a

a

；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的極小值點(diǎn)為

1-a

a

，極大值點(diǎn)為0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值等知識(shí)，考查學(xué)生分類討論思想的運(yùn)用能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．