Question

對正整數n，設曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為a_n，則數列{

an

n+1

}的前n項和的公式是（　　）

• A、2ⁿ
• B、2ⁿ-2
• C、2ⁿ⁺¹
• D、2ⁿ⁺¹-2

Answer 1

分析：先求出x=2時曲線方程的導函數，進而可知切線方程，令x=0進而求得數列{

an

n+1

}的通項公式，可得數列{a_n}的通項公式，最后用錯位相減法求得答案．

解答：解：∵y'|_x=2=-2^n-1（n+2），
∴切線方程為：y+2ⁿ=-2^n-1（n+2）（x-2），
令x=0，求出切線與y軸交點的縱坐標為y₀=（n+1）2ⁿ，
所以

an

n+1

=2n，則數列{

an

n+1

}的前n項和Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2

點評：本題主要考查了數列的求和問題．當數列由等比和等差數列構成時，常可用錯位相減法求和．