Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.

（1）求證：AE⊥BE；

（2）求直線ED與平面ACE所成的角的大��；

（3）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE。

Answer 1

解：（1）證明：∵AD⊥平面ABE，AD//BC

∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC

又∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF

∴AE⊥平面BCE    又 

∴AE⊥BE

   （2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為軸，AD為軸，垂直AB的直線為軸

建立如圖的空間直角坐標(biāo)系

可以求得E

向量

由題意知向量為平面的法向量，

先求向量與向量的夾角，設(shè)向量與向量的夾角為

所以直線DE與直線BF所成的角為60°，

所以ED與平面ABE所成的角的大小為30° 

   （3）在三角形ABE中過(guò)M點(diǎn)作MG∥AE交BE于G點(diǎn),在三角形BEC中過(guò)G點(diǎn)作GN∥BC交EC于N點(diǎn),連MN,則

由比例關(guān)系易得CN＝

MG∥AE  MG平面ADE, AE平面ADE,

∴MG∥平面ADE

同理, GN∥平面ADE

∴平面MGN∥平面ADE

又MN平面MGN    

∴MN∥平面ADE

∴N點(diǎn)為線段CE上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)。