如圖,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F(xiàn)為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE.
(1)求證:AE⊥BE;
(2)求直線ED與平面ACE所成的角的大;
(3)設(shè)M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點(diǎn)N,使得MN∥平面DAE。
解:(1)證明:∵AD⊥平面ABE,AD//BC
∴BC⊥平面ABE,則AE⊥BC
又∵BF⊥平面ACE,則AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE 又
∴AE⊥BE
(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB為軸,AD為
軸,垂直AB的直線為
軸
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系
可以求得E
向量
由題意知向量為平面
的法向量,
先求向量與向量
的夾角,設(shè)向量
與向量
的夾角為
所以直線DE與直線BF所成的角為60°,
所以ED與平面ABE所成的角的大小為30°
(3)在三角形ABE中過(guò)M點(diǎn)作MG∥AE交BE于G點(diǎn),在三角形BEC中過(guò)G點(diǎn)作GN∥BC交EC于N點(diǎn),連MN,則
由比例關(guān)系易得CN=
MG∥AE MG
平面ADE, AE
平面ADE,
∴MG∥平面ADE
同理, GN∥平面ADE
∴平面MGN∥平面ADE
又MN平面MGN
∴MN∥平面ADE
∴N點(diǎn)為線段CE上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)。
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