Question

（文科）已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1
（1）求橢圓C的方程；
（2）求與橢圓C焦點(diǎn)相同，離心率為

3

2

的雙曲線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由已知得

a-c=1 a+c=7

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由已知得雙曲線的焦點(diǎn)為F₁（-3，0），F(xiàn)₁（3，0），離心率為

3

2

，由此能求出雙曲線方程．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為a，c，
由已知得

a-c=1 a+c=7

，解得a=4，c=3，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

7

=1．
（2）由（1）知橢圓C的焦點(diǎn)為F₁（-3，0），F(xiàn)₁（3，0），
∴雙曲線的焦點(diǎn)為F₁（-3，0），F(xiàn)₁（3，0），離心率為

3

2

，
∴設(shè)雙曲線方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1，（m＞n＞0），
則

m2+n2=9 3 m = 3 2

，解得m=2，n=

5

，
∴雙曲線方程為

x2

4

-

y2

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和雙曲線方程的合理運(yùn)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓和雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．