Question

1．已知變量x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}}\right.$，則$\frac{y+1}{x+2}+1$的取值范圍是（　�。�

• A． $[{2，\frac{5}{2}}]$
• B． $[{\frac{5}{4}，\frac{5}{2}}]$
• C． $[{\frac{4}{5}，\frac{5}{2}}]$
• D． $[{\frac{5}{4}，2}]$

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，化簡目標函數(shù)，利用它的幾何意義，即可求最大值．

解答 解：作出不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}}\right.$對應(yīng)的平面區(qū)域：則$\frac{y+1}{x+2}+1$的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到P（-2，-1）的斜率加上1．
由圖象知，PB的斜率最大
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（0，2），
故PB的斜率k=$\frac{2+1}{0+2}$=$\frac{3}{2}$．
則$\frac{y+1}{x+2}+1$的最大值為：$\frac{5}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，C（2，0），則$\frac{y+1}{x+2}+1$的最小值為$\frac{0+1}{2+2}+1$=$\frac{5}{4}$．
則$\frac{y+1}{x+2}+1$的取值范圍是：$[{\frac{5}{4}，\frac{5}{2}}]$．
故選：B．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃和直線斜率的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．