設(shè),且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.
解法1:1≤f(-1)=a-b≤2,2≤f(1)=a+b≤4. 兩式相加,得3≤2a≤6,∴. 又∵-2≤b-a≤-1,2≤b+a≤4, ∴0≤2b≤3.∴. ∴6≤4a≤12,-3≤-2b≤0. ∴3≤f(-2)=4a-2b≤12. 解法2:由f(-1)=a-b,f(1)=a+b, 得,. ∴f(-2)=4a-2b=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,∴3≤3f(-1)≤6. 又2≤f(1)≤4,∴5≤f(-2)≤10. |
比較上述兩種解法,所得結(jié)果分別為3≤f(-2)≤12與5≤f(-2)≤10.顯然結(jié)果不同,為什么呢?考慮條件1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,得到的是1≤a-b≤2,2≤a+b≤4這兩個結(jié)論,顯然a、b兩字母是相互聯(lián)系的整體而并不獨立存在著,如果確定出a、b的各自范圍,,那么0≤a-b≤3,,即0≤f(-1)≤3,,這與條件矛盾了!因此,解法1方法錯了,本題的答案應(yīng)該是5≤f(-2)≤10. 總結(jié)本題,可知:如果條件是多個字母相關(guān)連(如和、差、積、商等)的范圍,在求解與這些字母有關(guān)代數(shù)式范圍時,我們利用整體代換的方式,把要求范圍的代數(shù)式用已知代數(shù)式表示,再利用不等式性質(zhì)求解.這種整體思想要注意把握和運用. f(-1)=a-b,f(1)=a+b,一方面,由條件知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,因此可確定字母a、b的范圍,進而求出f(-2)的范圍;另一方面,由f(-1),f(1)可求出,,進而用f(-1)、f(1)表示出f(-2),從而求出f(-2)的范圍,兩方面所求結(jié)論是否相同呢?如果不同,哪方面出現(xiàn)了問題? |
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