設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）證明其中為k為整數(shù)

（Ⅱ）設(shè)為的一個(gè)極值點(diǎn)，證明

（Ⅲ）設(shè)在（0,+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為，證明：

（Ⅰ）同解析；（Ⅱ）同解析；（Ⅲ）同解析。


解析:

（I）由于函數(shù)定義，對(duì)任意整數(shù)，有

（II）函數(shù)在R上可導(dǎo)，  ①

令，得：

若，則，這與矛盾，所以。

當(dāng)時(shí)，  ②

由于函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象知，有解。

當(dāng)時(shí)，

（II）證明：由函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象知，對(duì)于任意整數(shù)，在開(kāi)區(qū)間（，）內(nèi)方程只有一個(gè)根，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

而在區(qū)間（，）內(nèi)，要么恒正，要么恒負(fù)

因此時(shí)的符號(hào)與時(shí)的符號(hào)相反

綜合以上，得：的每一個(gè)根都是的極值點(diǎn) ③

由得，當(dāng)時(shí)，，即對(duì)于時(shí)， ④

綜合 ③、④ ：對(duì)于任意 ，

由：和，得：  ⑤

又：，

但時(shí)， ⑥

綜合 ⑤、⑥ 得：

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lg（x+
x2+1
）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給予證明；
（2）證明函數(shù)f（x）在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•福建模擬）已知函數(shù)f（x）=（ax2+bx+c）ex在x=1處取得極小值，其圖象過(guò)點(diǎn)A（0，1），且在點(diǎn)處切線的斜率為-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）的定義域D，若存在區(qū)間[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，則稱區(qū)間[m，n]為函數(shù)g（x）的“保值區(qū)間”．
（ⅰ）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）不存在“保值區(qū)間”；
（ⅱ）函數(shù)f（x）是否存在“保值區(qū)間”？若存在，寫(xiě)出一個(gè)“保值區(qū)間”（不必證明）；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)fn（x）=xn，n∈N*，其導(dǎo)函數(shù)記為fn′（x），且滿足f2′[x1+a(x2-x1)]=
f2(x2)-f2(x1)
x2-x1
，a，x1，x2為常數(shù)，x1≠x2．
（1）試求a的值；
（2）記函數(shù)F（x）=b•f1（x）-lnf3（x），x∈（0，e]，若F（x）的最小值為6，求實(shí)數(shù)b的值；
（3）對(duì)于（2）中的b，設(shè)函數(shù)g(x)=(
b
3
)x，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函數(shù)g（x）圖象上兩點(diǎn)，若g′(x0)=
y2-y1
x2-x1
，試判斷x0，x1，x2的大小，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-2x2-4x-7
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極小值；
（Ⅱ）確定方程f（x）=0的根的一個(gè)近似值，使其誤差不超過(guò)0.5，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）當(dāng)a＞2時(shí)，證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x＞2，恒有f（x）≥f（a）+f′（a）（x-a）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)ft(x)=
1
1+x
-
1
(1+x)2
(t-x)，其中t為常數(shù)，且t＞0．
（Ⅰ）求函數(shù)ft（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）數(shù)列{an}中，a1=3，a2=5，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），且設(shè)bn=1-
1
an
，證明：對(duì)任意的x＞0，bn≥f
1
2n
(x)，n=1，2，…．

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