求證：(1)平行六面體的各對角線交于一點，并且在這一點互相平分．

(2)對角線相等的平行六面體是長方體．

已知：平行六面體ABCD－A1B1C1D1

求證：(1)對角線AC1、BD1、CA1、DB1相交于一點，且在這點互相平分；

(2)若AC1＝BD1＝CA1＝DB1時，該平行六面體為長方體．

答案：
解析：

　　證明：(1)∵AA1∥BB1，BB1∥CC1，

　　∴AA1∥CC1．

　　∴對面角A1ACC1是平行四邊形．

　　∴CA1與AC1相交，且互相平分．

　　設CA1∩AC1＝0，則O為CA1，AC1的中點．

　　同理，可證DB1與AC1及AC1與D1B也相交于一點，且互相平分．

　　交點也是O．

　　∴AC1、BD1、DB1、CA1交于一點，且互相平分．

　　(2)∵平行六面體AC1的對角線面A1C1CA、B1D1DB都是平行四邊形．且它們的對角線A1C、B1D、C1A、D1B都相等．

　　∴對角面A1C1AC，B1D1DB都是矩形．

　　因此CC1⊥A1C1

　　∴BB1⊥B1D1

　　又∵BB1∥CC1

　　∴BB1⊥A1C1

　　∴BB1⊥平面A1C1

　　∴平行六面體A1C是直平行六面體

　　同理可證：CB⊥平面A1B，則BC⊥AB．

　　∴平面四邊形ABCD是矩形．

　　∴直平行六面體A1C是長方體．


練習冊系列答案
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如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O．
（1）求證：面O1DC⊥面ABCD；
（2）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B大小；
（3）若點E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE=2EA1，問點F在何處時，EF⊥AD．

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求證：(1)平行六面體的各對角線交于一點，并且在這一點互相平分；

(2)對角線相等的平行六面體是長方體．

(1)已知：平行六面體AC1；

求證：AC1、BD1、CA1、DB1交于一點且互相平分．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

求證：(1)平行六面體的各對角線交于一點，并且在這一點互相平分；

(2)對角線相等的平行六面體是長方體．

(1)已知：平行六面體AC1；

求證：AC1、BD1、CA1、DB1交于一點且互相平分．

 

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