Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）已知f（x）在定義域上為減函數，若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0（k為常數）恒成立．求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）是定義在R的奇函數，所以f（﹣x）=﹣f（x）

令x=0，f（0）=﹣f（0），f（0）=0

令x=1，f（﹣1）=﹣f（1），

所以 ，

解得： ；

（Ⅱ）經檢驗，當a=2，b=1時，f（x）為奇函數．

所以f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）

因為f（x）是奇函數，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）

因為f（x）在R上單調減，所以t2﹣2t＞k﹣2t2

即3t2﹣2t﹣k＞0在R上恒成立，所以△=4+43k＜0

所以k＜﹣ ，即k的取值范圍是（﹣∞，﹣ ）

【解析】（Ⅰ）利用奇函數定義f（﹣x）=﹣f（x）中的特殊值求a，b的值；（Ⅱ）首先確定函數f（x）的單調性，然后結合奇函數的性質把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉化為關于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)．