Question

【題目】已知正方體的棱長為2，點，，分別為棱，，的中點，下列結論中，其中正確的個數是（ ）

①過，，三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形；

②平面；

③平面；

④異面直線與所成角的正切值為；

⑤四面體的體積等于

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據公理3，作截面可知①正確；根據直線與平面的位置關系可知②不正確；根據線面垂直的判定定理可知③正確；由條件有,所以為異面直線與的夾角可知④正確；用正方體體積減去四個正三棱錐的體積可知⑤不正確．

對于①.延長分別與的延長線交于，連接交于，設與的延長線交于，連接交于，交于，連，則截面六邊形為正六邊形，故①正確；
對于②.與相交，故與平面相交，所以②不正確；
對于③.∵，且與相交，所以平面，故③正確；
對于④.連接,由條件有,所以（或其補角）為異面直線與的夾角,在直角三角形中， .故④不正確；
對于⑤.四面體的體積等于正方體的體積減去四個正三棱錐的體積，即為，故⑤不正確．

所以正確的命題有2個.
故選：B