Question

已知函數(shù)f（x）=

nx2+2

3x+m

是奇函數(shù)，且f（2）=

5

3

．
（1）求實數(shù)m和n的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)的定義，可得m=0，再由f（2），即可得到n；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
即為

nx2+2

-3x+m

=-

nx2+2

3x+m

，
即有m=-m，即m=0，
又f（2）=

5

3

，則

4n+2

6

=

5

3

，
解得n=2，
則m=0，n=2；
（2）由于f（x）=

2(x2+1)

3x

=

2

3

（x+

1

x

），
則f′（x）=

2

3

（1-

1

x2

），
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜-1；
f′（x）＜0，可得-1＜x＜0或0＜x＜1．
則f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性為：在（-∞，-1）上遞增，
（-1，0）上遞減．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查定義法和導(dǎo)數(shù)的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．