Question

(本大題滿分12分)
已知點A(－1，0)、B(1，0)和動點M滿足：，且，動點M的軌跡為曲線C，過點B的直線交C于P、Q兩點．
(1)求曲線C的方程；
(2)求△APQ面積的最大值．

Answer 1

(1)解：設(shè)M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，

∴
即                       

因此點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，a = 2，c = 1
∴曲線C的方程為．                                                                               

(2)解法一：設(shè)直線PQ方程為 (∈R)
由 得：                                                           

顯然，方程①的，設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則有

                                                          

令，則t≥3，                                                            

由于函數(shù)在[3，＋∞)上是增函數(shù)，∴
故，即S≤3
∴△APQ的最大值為3                                                                                              

解法二：設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，易知S = 3
設(shè)直線PQ方程為
由  得：  ①                                        
顯然，方程①的△＞0，則
∴                                   

                                　　　　
令，則，即S＜3

∴△APQ的最大值為3