Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M（1，

3

2

），且右焦點(diǎn)為F₂（1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F₂作與PF₂垂直的直線l₂，直線l₂與直線l₁：

x0x

a2

+

y0y

b2

=0相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

a2-b2=1 1 a2 + 9 4b2 =1

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由P（x₀，y₀），F(xiàn)₂（1，0），知kPF2=

y0

x0-1

，設(shè)Q（x，y），則kQF2=

y

x-1

，由PF₂⊥QF₂，能求出點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M（1，

3

2

），且右焦點(diǎn)為F₂（1，0），
∴

a2-b2=1 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵P（x₀，y₀），F(xiàn)₂（1，0），∴kPF2=

y0

x0-1

，
設(shè)Q（x，y），則kQF2=

y

x-1

，
∵過(guò)F₂作與PF₂垂直的直線l₂，直線l₂與直線l₁：

x0x

a2

+

y0y

b2

=0相交于點(diǎn)Q，
∴PF₂⊥QF₂，
∴kPF2•kQF2=

y0

x0-1

•

y

x-1

=-1，
整理，得：（x₀-1）x+y₀y-x₀+1=0．
∴點(diǎn)Q的軌跡方程為（x₀-1）x+y₀y-x₀+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．