Question

（本題滿分14分）如圖，四邊形ABCD中，為正三角形，，，AC與BD交于O點．將沿邊AC折起，使D點至P點，已知PO與平面ABCD所成的角為，且P點在平面ABCD內的射影落在內．

（Ⅰ）求證：平面PBD；

（Ⅱ）若已知二面角的余弦值為，求的大小.

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)見解析；(Ⅱ).

【解析】本試題主要是考查 了空間幾何體中線面垂直的證明，以及二面角的求解的綜合運用。

（1）要證明線面垂直，只要利用線面垂直的判定定理即可，關鍵是證明則AC垂直于BD，又AC垂直于PO

（2）可以建立空間直角坐標系，通過法向量與法向量的夾角求解二面角大小，或者利用三垂線定理求解二面角，從而得到求解。

解：(Ⅰ)易知為的中點，則，又，

        又，平面，

        所以平面    （5分）

    (Ⅱ)方法一：以為軸，為軸，過垂直于

平面向上的直線為軸建立如圖所示空間

直角坐標系，則,

            （7分）

易知平面的法向量為  （8分）

，

設平面的法向量為

則由得，

解得，，令，則  （11分）

則

解得，，即，即，

又，∴

故.（14分）

方法二：

作，連接，

由(Ⅰ)知平面，又平面，

∴，又，平面，

∴平面，又平面，

∴，

∴即為二面角的平面角 （8分）

作于，由平面及平面知，

又，平面，所以平面

所以即為直線與平面所成的角，即   （10分）

在中，，

由=知，，

則，又，所以，故.（14分）