甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨立作答，然后由乙回答剩余3道題，每人答對其中2題就停止答題，即為闖關成功．已知6道備選題中，甲能答對其中的4道題，乙答對每道題的概率都是
2
3
．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闖關成功的概率；
（Ⅱ）設乙答對題目的個數(shù)為η，求η的方差；
（Ⅲ）設甲答對題目的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．
考點：離散型隨機變量的期望與方差,極差、方差與標準差
專題：概率與統(tǒng)計
分析：（Ⅰ）利用對立事件的概率計算公式能求出甲、乙至少有一人闖關成功的概率．
（Ⅱ）由題意η～(3，
2
3
)，由此能求出η的方差．
（Ⅲ）由題意知ξ=1，2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學期望．
解答： 解：（Ⅰ）設事件A：甲、乙至少有一人闖關成功，
P(A)=1-P(
.
A
)=1-
C
2
2
C
1
4
C
3
6
[(
1
3
)3+
C
2
3
(
1
3
)2
2
3
]=
128
135
．…（4分）
（Ⅱ）由題意η～(3，
2
3
)，
所以D(η)=3×
2
3
×
1
3
=
2
3
…（7分）
（Ⅲ）由題意知ξ=1，2，
P(ξ=1)=
C
1
4
C
3
6
=
1
5
，
P(ξ=2)=
C
1
2
C
2
4
+
C
3
4
C
3
6
=
4
5
，
所以ξ的分布列為：
ξ12
P
1
5
4
5
…（10分）
E（ξ）=1×
1
5
+2×
4
5
=
9
5
．…（12分）
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和均值的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．
練習冊系列答案
相關習題

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如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ABC=60°，BC=2AB，PA⊥底面ABCD．
（1）證明：PB⊥AC
（2）若PA=AB，求直線PD與平面PBC所成的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知△ABC是等邊三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同側，M為EA的中點，CE=2BD．
（Ⅰ）求證：MD∥面ABC；
（Ⅱ）求證：平面DEA⊥平面ECA．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某同學參加政治、歷史、生物、地理四門學科的學業(yè)水平測試，假設該同學歷史學科測試成績?yōu)锳的概率為
4
5
，其余三門學科測試成績?yōu)锳的概率均為
1
2
，且四門學科測試成績是否為A相互獨立．
（1）求該同學恰有兩門學科測試成績?yōu)锳的概率；
（2）設四門學科中測試成績?yōu)锳的門數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在（2x+
1
x2
）n的展開式中，第三項的二項式系數(shù)比第二項的二項式系數(shù)大27，求展開式中的常數(shù)項及系數(shù)最大的項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，求f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等比數(shù)列an的公比為q＞1，又a172=a24，求使a1+a2+…+an＞
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
成立的自然數(shù)n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C：xy=1，現(xiàn)將曲線C繞坐標原點逆時針旋轉45°，求所得曲線C′的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足3a4=a52，則a6=
 
．

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