Question

已知函數(shù)，（提示：）

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（1）；（2）①當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；②當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；③當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是；④當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．

【解析】

試題分析：（1）當時，找到切點坐標和切線斜率，進而求得切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)式。對進行分類討論，

試題解析：因為

（1）當時，，，

所以且，所以切點為，切線的斜率為，所求切線方程為：化簡為：．

（2）根據(jù)式進行分類討論：按分別進行討論，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系分別找到單調(diào)區(qū)間．

①當時，

所以，在區(qū)間上，在區(qū)間上，

故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

②當時，由得 所以，在區(qū)間和上，，在區(qū)間上

故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．

③ 當時，恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間是．

④ 當時，由得

所以，在區(qū)間和上，，

在區(qū)間上

故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．

綜上所述，①當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；②當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；③當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是；④當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．

考點：1．利用導(dǎo)函數(shù)求切線方程；2．分類討論思想．