Question

已知函數(shù)，（x∈R）．
（Ⅰ）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求f（x）在區(qū)間[1，5）上的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）的定義域?yàn)镽，任取x₁＜x₂，
則=．
∵x₁＜x₂，
∴．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總為增函數(shù)．（4分）
（Ⅱ）∵f（x）在x∈R上為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即．
解得 ．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
由（Ⅰ） 知，f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[1，5）上的最小值為f（1）．
∵，
∴f（x）在區(qū)間[1，5）上的最小值為．（12分）
分析：（I）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行判定，任取x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，從而得到結(jié)論；
（II）根據(jù)奇函數(shù)的定義建立等式關(guān)系，解之即可求出a的值；
（III）根據(jù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，5）上的最小值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，以及函數(shù)的最值，屬于中檔題．