Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，
（Ⅰ） 若a =1，求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）如果當(dāng)且時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時，增區(qū)間為；
當(dāng)時，增區(qū)間為，增區(qū)間為；
（Ⅲ）。

解析試題分析：由題，
（Ⅰ）當(dāng) a =1時，，，
函數(shù)的圖像在點處的切線方程為；
（Ⅱ）設(shè)
①當(dāng)時，故增區(qū)間為；
若設(shè)設(shè)兩根分別為，
② 當(dāng)時，，所以增區(qū)間為；
③當(dāng)時，，所以增區(qū)間為，增區(qū)間為；
綜上，當(dāng)時，增區(qū)間為；
當(dāng)時，增區(qū)間為，增區(qū)間為；
（Ⅲ）可化為，設(shè)由（Ⅱ）可知：
①若有，由單調(diào)性，對，此時，，
同理，對，此時，，
所以符合題意；
②若有，可知則對，此時，，
不符合題意；
綜上，符合題意的。
考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；曲線的切線方程的求法；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。
點評：①我們要靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程，尤其要注意切點這個特殊點，充分利用切點即在曲線方程上，又在切線方程上，切點處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率這些條件列出方程組求解。②利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，一定要先求函數(shù)的定義域。