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已知函數f(x)=ax2-2x+1
(1)試討論函數f(x)的單調性;
(2)若數學公式,且f(x)在[1,3]上的最大值為M(a),求M(a)的表達式;
(3)若數學公式,且f(x)在[1,3]上的最大值為M(a),最小值為N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的表達式.

解:(1)當a=0時,函數f(x)=-2x+1在(-∞,+∞)上為減函數…(2分)
當a>0時,拋物線f(x)=ax2-2x+1開口向上,對稱軸為
∴函數f(x)在上為減函數,在上為增函數…(4分)
當a<0時,拋物線f(x)=ax2-2x+1開口向下,對稱軸為
∴函數f(x)在上為增函數,在上為減函數…(6分)
(2)∵,又,得
,即時,M(a)=f(3)=9a-5,當,即時,M(a)=f(1)=a-1,
∴M(a)=…(8分)
(3)∵,∴

時,M(a)=f(3)=9a-5,∴
時,M(a)=f(1)=a-1,∴…(12分)
…(13分)
分析:(1)對參數a進行討論,分一次函數、二次函數,確定函數的單調性;
(2)配方,確定函數對稱軸與區(qū)間的關系,即可得到M(a)的表達式;
(3)先確定,再利用(2)的結論,即可求得g(a)的表達式.
點評:本題考查函數的單調性,考查二次函數在指定區(qū)間上的最值,考查分類討論的數學思想,正確分類是關鍵.
練習冊系列答案
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

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1
4
)
時,求f(x)的最大值;
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34
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