Question

如圖，正四棱錐S-ABCD中，底面正方形ABCD邊長為4，O是AC與BD的交點，SO⊥平面ABCD，E是側棱SC的中點，異面直線SA和BC所成角的大小是60°．
（1）求證：直線SA∥平面BDE；
（2）求直線BD與平面SBC所成角θ的正弦值；
（3）在線段AB內是否存在點F，使EF⊥SD？若存在，求出AF的長，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：（1）連接OE，則OE∥SA，OE在平面BDE內，SA在平面BDE外，所以SA∥平面BDE；
（2）求直線BD與平面SBC所成角θ的正弦值，先找出角θ，容易發(fā)現若取BC中點G，連接OG，SG，則平面SOG⊥平面SBC，且平面SOG∩平面SBC=SG，所以只需過O作直線SG的垂線OH，則OH與平面SBC垂直，連接BH，則角OBH便是直線BD和平面SBC所成角，已知的邊的長度及邊的關系求出OH，OB的長度，則：sin∠OBH=

OH

OB

；
（3）以O為原點，OA，OB，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設AF=x，求出向量

EF

，

SD

的坐標，根據

EF

⊥

SD

，則

EF

•

SD

=0，帶入坐標可求出x，根據x的值即可判斷是否存在點F．

解答： 解：（1）如圖，連接OE，∵O是AC的中點，E是側棱SC的中點，∴OE∥SA
又OE?平面BDE，SA?平面BDE，∴直線SA∥平面BDE；
（2）取BC中點G，連接SG，OG，∵SO⊥平面ABCD，BC?平面ABCD；
∴SO⊥BC，即BC⊥SO；
又BC⊥OG，SO∩OG=O，∴BC⊥平面SOG，BC?平面SBC；
∴平面SBC⊥平面SOG，平面SBC∩平面SOG=SG；
所以過O作OH⊥SG，則OH⊥平面SBC；
∴連接BH，∠OBH是直線BD和平面SBC所成的角；
∵異面直線SA和BC所成角的大小是60°，所以SA和AD所成的角是60°；
∴△SAD是等邊三角形，即四棱錐的側面是等邊三角形；
∴SG=2

3

，OG=2，∴在Rt△SOG中，SO=

12-4

=2

2

，∴SG•OH=OG•OS，即2

3

•OH=2•2

2

，∴OH=

2 6

3

，又OB=2

2

；
∴在Rt△OBH中，sin∠OBH=

OH

OB

=

2 6 3

2 2

=

3

3

；
（3）由已知條件知，OA、OB、OS兩兩垂直，分別以射線OA、OB、OS為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標系；
假設AF=x時，滿足EF⊥SD，則：
S（0，0，2

2

），D（0，-2

2

，0），E（-

2

，0，

2

），F（2

2

-

2

2

x，

2

2

x，0）；
∴

EF

=(3

2

-

2

2

x，

2

2

x，-

2

)，

SD

=(0，-2

2

，-2

2

)；
則：

EF

•

SD

=0-2x+4=0，解得x=2；
∴在線段AB內存在點F，使EF⊥SD，且AF=2．

點評：考查線面平行的判定定理，異面直線所成角的概念，線面垂直的性質，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，面面垂直的性質定理，通過建立空間直角坐標系，利用向量解決異面直線垂直問題的方法．