Question

已知數(shù)列{a_n}滿足．
（I）求a_n的通項公式；
（II）若，求b_n的前n項和S_n；
（III）若．求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）已知S_n求a_n的問題可以利用 進行求解，能合并就合并，從而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求得 b_n=n•2ⁿ，是由一個等差數(shù)列與一等比數(shù)列的乘積，可利用錯位相減法進行求和，再S_n的等式兩邊同時乘以公比，然后進行作差即可求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（III））把（Ⅰ）求得的結果代入，通過對c_n進行放縮，達到求和的目的，從而證明了不等式的右邊；要證不等式的左邊，構造函數(shù)f（x）=2^x-x²，求導，借助于該函數(shù)的單調(diào)性證明該不等式的左邊，從而證明結論正確．
解答：解：（I）當n≥2時，
當n=1時，a₁=1成立，故
（II）b_n=n•2ⁿ
S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
由①-②得，-S_n=2¹+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=
故S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
（III）證明：
令f（x）=2^x-x²
f′（x）=2^xln2-2x，又
故f′′（x）=2^x（ln2）²-2≥f′′（5）＞0
故f′（x）在[5，+∞）上單調(diào)遞增，故f′（x）≥f′（5）＞0
故f（x）在[5，+∞）上單調(diào)遞增，故f（x）≥f（5）=7＞0
故當n＞4時，2ⁿ＞n²恒成立，即
故
又
故
綜上可得，
點評：此題是難題．考查學生根據(jù)數(shù)列遞推公式求數(shù)列的通項公式并利用錯位相減法求和，以及把不能求和的數(shù)列問題通過放縮的方法達到求和的目的．特別是問題（III）的設問形式，構造函數(shù)，借助于函數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列不等式，是高考的熱點，也是難點，注意體會．