【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是直角梯形,側(cè)棱
底面
,
垂直于
和
,
為棱
上的點,
,
.
(1)若為棱
的中點,求證:
//平面
;
(2)當時,求平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值;
(3)在第(2)問條件下,設(shè)點是線段
上的動點,
與平面
所成的角為
,求當
取最大值時點
的位置.
【答案】(1)見解析;(2);(3)即點N在線段CD上且
【解析】
(1)取線段SC的中點E,連接ME,ED.可證是平行四邊形,從而有
,則可得線面平行;
(2)以點A為坐標原點,建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,求出兩平面與平面
的法向量,由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值;
(3)設(shè),其中
,求出
,由MN與平面
所成角的正弦值為
與平面
的法向量夾角余弦值的絕對值可求得結(jié)論.
(1)證明:取線段SC的中點E,連接ME,ED.
在中,ME為中位線,∴
且
,
∵且
,∴
且
,
∴四邊形AMED為平行四邊形.
∴.
∵平面SCD,
平面SCD,
∴平面SCD.
(2)解:如圖所示以點A為坐標原點,建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則,
,
,
,
,
由條件得M為線段SB近B點的三等分點.
于是,即
,
設(shè)平面AMC的一個法向量為,則
,
將坐標代入并取,得
.
另外易知平面SAB的一個法向量為,
所以平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦為.
(3)設(shè),其中
.
由于,所以
.
所以,
可知當,即
時分母有最小值,此時
有最大值,
此時,,即點N在線段CD上且
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,
,
是不共面的三個向量,則能構(gòu)成一個基底的一組向量是( 。
A. 2,
﹣
,
+2
B. 2
,
﹣
,
+2
C. ,2
,
﹣
D.
,
+
,
﹣
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,且底面是邊長為2的正三角形,
,點D,E,F分別是所在棱的中點.
(1)在線段上找一點
使得平面
∥平面
,給出
點的位置并證明你的結(jié)論;
(2)在(1)的條件下,求二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】三國時期著名的數(shù)學家劉徽對推導特殊數(shù)列的求和公式很感興趣,創(chuàng)造并發(fā)展了許多算法,展現(xiàn)了聰明才智.他在《九章算術(shù)》“盈不足”章的第19題的注文中給出了一個特殊數(shù)列的求和公式.這個題的大意是:一匹良馬和一匹駑馬由長安出發(fā)至齊地,長安與齊地相距3000里(1里=500米),良馬第一天走193里,以后每天比前一天多走13里.駑馬第一天走97里,以后每天比前一天少走半里.良馬先到齊地后,馬上返回長安迎駑馬,問兩匹馬在第幾天相遇( )
A. 14天B. 15天C. 16天D. 17天
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義為
個正數(shù)
、
、
、
的“均倒數(shù)”.已知正項數(shù)列
的前
項的“均倒數(shù)”為
.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前
項和為
,若
對一切
恒成立,試求實數(shù)
的取值范圍;
(3)令,問:是否存在正整數(shù)
使得
對一切
恒成立,如存在,求出
值,否則說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】大氣污染是我國目前最突出的環(huán)境問題之一,其中工廠廢氣是大氣污染的重大污染源之一。工廠廢氣未經(jīng)凈化處理排放至空氣中,除了對空氣質(zhì)量造成嚴重破壞,還會對人體的健康造成重大威脅。長期生活在污染的空氣中,生活質(zhì)量及身體健康將急劇下降。某工廠因為污染問題需改進技術(shù),2019年初購進一臺環(huán)保新機器投入生產(chǎn),機器的成本價為36萬元,第年該機器包括維修費和機器護理費用在內(nèi),每年另需投人費用
萬元,購進該機器后每年盈利20萬元.
(1)問該機器投入生產(chǎn)第幾年,工廠開始盈利(即總收入大于所有投人的費用)?
(2)由于機器使用年限越大維修等費用越高,所以工廠決定當年平均利潤最大時將該機器以5萬元低價處理,問使用該機器幾年后工廠年平均利潤最大?此時工廠獲得的總利潤為多少?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟模式的改變,微商和電商已成為當今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺.已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內(nèi),每售出噸該商品可獲利潤
萬元,未售出的商品,每
噸虧損
萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗,得到一個銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示.已知電商為下一個銷售季度籌備了
噸該商品.現(xiàn)以
(單位:噸,
)表示下一個銷售季度的市場需求量,
(單位:萬元)表示該電商下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.
(1)將表示為
的函數(shù),求出該函數(shù)表達式;
(2)根據(jù)直方圖估計利潤不少于57萬元的概率;
(3)根據(jù)頻率分布直方圖,估計一個銷售季度內(nèi)市場需求量的平均數(shù)與中位數(shù)的大。ūA舻叫(shù)點后一位).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點是圓
:
上的一動點,點
,點
在線段
上,且滿足
.
(1)求點的軌跡
的方程;
(2)設(shè)曲線與
軸的正半軸,
軸的正半軸的交點分別為點
,
,斜率為
的動直線
交曲線
于
、
兩點,其中點
在第一象限,求四邊形
面積的最大值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com