Question

如圖所示，在△ABC中，∠B=90°，SA⊥平面ABC，點A在SB和SC上的射影分別為N，M．求證MN⊥SC．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：SA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴SA⊥BC． ∵∠B=90°，即AB⊥BC， BA∩SA=A，∴BC⊥平面SAB． ∵AN平面SAB，∴BC⊥AN． 又∵AN⊥SB，SB∩BC=B， ∴AN⊥平面SBC． ∵SC平面SBC．∴AN⊥SC． 又AM⊥SC，AM∩AN=A， ∴SC⊥平面AMN． ∵MN平面AMN，∴SC⊥MN．

提示：

欲證SC⊥MN，可證SC⊥平面AMN，為此需證SC⊥AN，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為證明AN⊥平面SBC，而已知AN⊥SB，所以只需證AN⊥BC即可，由于本題中線線垂直、線面垂直較多，所以也可充分利用三垂線定理及其逆定理來證明． 證明線線垂直常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，而證明線面垂直又學(xué)轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，立體幾何中的垂直問題的證明往往是在這種互相轉(zhuǎn)化中實現(xiàn)的．