設(shè)函數(shù),
的兩個極值點為
,線段
的中點為
.
(1) 如果函數(shù)為奇函數(shù),求實數(shù)
的值;當(dāng)
時,求函數(shù)
圖象的對稱中心;
(2) 如果點在第四象限,求實數(shù)
的范圍;
(3) 證明:點也在函數(shù)
的圖象上,且
為函數(shù)
圖象的對稱中心.
(1)函數(shù)圖象的對稱中心為(1,0).
(2)或
.
(3)由(2)得點,推出點
也在函數(shù)
的圖象上.
設(shè)為函數(shù)
的圖象上任意一點,
求得關(guān)于
的對稱點為
證明在函數(shù)
的圖像上.證得
為函數(shù)
的對稱中心.
【解析】
試題分析:(1)【法一】因為為奇函數(shù),所以
, 得:
.
當(dāng)時,
,有
,則
為奇函數(shù). 4分
【法二】,
恒成立,
, 求得
.
當(dāng)時,
,該圖象可由奇函數(shù)
的圖象向右平移一個單位得到, 可知函數(shù)
圖象的對稱中心為(1,0). 4分
(2),
令,則
為
兩實根.
,
.
=
= ,
點
在第四象限,得:
或
.
10分
(3)由(2)得點,
又
=,所以點
也在函數(shù)
的圖象上.
12分
設(shè)為函數(shù)
的圖象上任意一點,
關(guān)于
的對稱點為
而
=.
即在函數(shù)
的圖像上.
所以,為函數(shù)
的對稱中心.
16分
【法二】設(shè)
.
為奇函數(shù),
對稱中心為.
把函數(shù)的圖象按向量
平移后得
的圖象,
為函數(shù)
的對稱中心.
16分
考點:本題主要考查函數(shù)的奇偶性,函數(shù)圖象的對稱性。
點評:中檔題,本題解法較多,緊緊圍繞函數(shù)圖象的對稱性展開討論。奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱。
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2 |
3 |
4 |
a |
3 |
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m |
3 |
n |
2 |
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