Question

已知數列{a_n}滿足：．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）設，且，證明：．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=n
令b_n=2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n，∴2ⁿa_n=2a₁+b₁+b₂+…+b_n-1=，
∴，又a₁=1成立∴（4分）
（Ⅱ）∵，∴
又當n≥2時，2ⁿ⁺¹=（1+1）ⁿ⁺¹=1+C_n+1¹+C_n+1²+…+C_n+1^n-1+C_n+1ⁿ⁺¹
∴2ⁿ⁺¹＞1+C_n+1¹+2C_n+1²，∴2ⁿ⁺¹＞n²+2n+2，而
∴，又a₁=1
故（9分）
（Ⅲ）
欲證：．，即證，即ln（1+T_n）-T_n＜0．
構造函數f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），，
∴f（x）在[0，+∞）上為減函數，f（x）的最大值為f（0）=0，
∴當x＞0時，f（x）＜0，∴l(xiāng)n（1+T_n）-T_n＜0
故不等式．成立．（14分）
分析：（Ⅰ）2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=n，令b_n=2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n，得2ⁿa_n=2a₁+b₁+b₂+…+b_n-1=，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由，可得，2ⁿ⁺¹=（1+1）ⁿ⁺¹=1+C_n+1¹+C_n+1²+…+C_n+1^n-1+C_n+1ⁿ⁺¹，所以2ⁿ⁺¹＞n²+2n+2，由此能證明．
（Ⅲ），欲證：．，即證，即ln（1+T_n）-T_n＜0．構造函數f（x）=ln（1+x）-x，借助導數能夠證明．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意構造法的合理運用．