Question

已知數(shù)列，滿足，其中.
（Ⅰ）若，求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若，且.
（ⅰ）記，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（ⅱ）若數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次. 求首項應滿足的條件.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（ⅰ）證明略
（ⅱ）設集合，
當時，數(shù)列中必有某數(shù)重復出現(xiàn)無數(shù)次.
當時，均為單調數(shù)列，任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多出現(xiàn)一次，所以數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次

解：（Ⅰ）當時，有
 …………2分
.                        ………………3分
又因為也滿足上式，所以數(shù)列的通項為.…………4分
（Ⅱ）（�。┮驗閷θ我獾�有，………………5分
所以
，
所以數(shù)列為等差數(shù)列.                              ………………7分
（ⅱ）設，（其中為常數(shù)且），所以

所以數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列.            ………………9分
設，
（其中，為中的一個常數(shù)），
當時，對任意的有；         ………………10分
當時，

……………11分
①若，則對任意的有，所以數(shù)列為單調減數(shù)列；
②若，則對任意的有，所以數(shù)列為單調增數(shù)列；…12分
綜上：設集合，
當時，數(shù)列中必有某數(shù)重復出現(xiàn)無數(shù)次.
當時，均為單調數(shù)列，任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多出現(xiàn)一次，所以數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次. ……14分