Question

已知函數f(x)=

8

x-1

+4，g(x)=|x+1|-

1

3

x-

7

3

，h(x)=

f(x)， x≤-1 g(x)， x＞-1

（1）畫出函數y=h（x）的圖象；
（2）用單調性的定義證明：函數y=f（x）在（-∞，1）上為減函數．

Answer 1

分析：（1）利用分段函數進行作圖．
（2）利用函數單調性的定義進行證明．

解答：解：（1）函數y=h（x）的圖象
當x＞-1時，g(x)=

2

3

x-

4

3

，取點（-1，-2）和（2，0），得射線；
對f(x)=

8

x-1

+4，取點（-3，-2）和（-1，0），
函數y=h（x）的圖象如圖所示．

（2）任取x₁，x₂∈（-∞，1），設x₁＜x₂，
∵f(x)=

8

x-1

+4
則f(x1)-f(x2)=(

8

x1-1

+4)-(

8

x2-1

+4)=

8(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
而x₁-1＜0，x₂-1＜0，又x₂-x₁＞0，
∴

8(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
即：f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴函數y=f（x）在（-∞，1）上為減函數．

點評：本題主要考查函數圖象的作圖以及利用函數單調性的定義證明函數的單調性，考查學生的作圖能力．