Question

設(shè)P是雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1右分支上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點(diǎn)，設(shè)∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β（如圖），求證3tan

α

2

=tan

β

2

．

Answer 1

分析：設(shè)出內(nèi)切圓的圓心及它與x 軸的切點(diǎn)N，半徑為r，則M與N有相同的橫坐標(biāo)，由雙曲線的定義及切線長(zhǎng)定理得到N到2個(gè)焦點(diǎn)的距離，計(jì)算2個(gè)半角的正切值，等式得到證明．

解答：解：P是雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1右分支上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點(diǎn)，
∴a=2，b=2

3

，c=4，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓圓心為M，內(nèi)切圓與x 軸的切點(diǎn)為N，半徑為r，則M與N有相同的橫坐標(biāo)，
由雙曲線的定義|pF₁|-|PF₂|=4，及切線長(zhǎng)定理得，|NF₁|-|NF₂|=4，
又|NF₁|+|NF₂|=2c=8，∴|NF₁|=6，|NF₂|=2，
則tan

α

2

=

r

|NF1|

=

r

6

，tan

β

2

=

r

|NF2|

=

r

2

，
∴3tan

α

2

=tan

β

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的綜合應(yīng)用．