Question

已知α為銳角，且tanα=

2

-1，函數(shù)f(x)=x2tan2α+x•sin(2α+

π

4

)，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a1=

1

2

，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）對(duì)任意n∈[1，4]，an≤

37

16

(m2+m)都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由 tan2α=

2tanα

1-tan2α

，將 tanα=

2

-1代入可求解，由α為銳角，得α=

π

8

，從而計(jì)算得 sin(2α+

π

4

)=1進(jìn)而求得函數(shù)表達(dá)式．
（2）由數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a1=

1

2

，a_n+1=f（a_n），知a2=

1

4

+

1

2

=

3

4

，a3=

9

16

+

3

4

=

21

16

，a4=

441

256

+

21

16

=

777

256

，由對(duì)任意n∈[1，4]，an≤

37

16

(m2+m)都成立，知

777

256

≤

37

16

(m2+m)，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1
又∵α為銳角
∴α=

π

8

∴sin(2α+

π

4

)=1
∴f（x）=x²+x．
（2）∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a1=

1

2

，a_n+1=f（a_n），
∴a2=

1

4

+

1

2

=

3

4

，
a3=

9

16

+

3

4

=

21

16

，
a4=

441

256

+

21

16

=

777

256

，
∵對(duì)任意n∈[1，4]，an≤

37

16

(m2+m)都成立，
∴

777

256

≤

37

16

(m2+m)，
解得m∈(-∞，-

7

4

]∪[

3

4

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意正切二倍角公式和數(shù)列遞推公式的合理運(yùn)用．