【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
在
上的最值;
(Ⅱ)試討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)當(dāng)
或
時(shí),
只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)
或
時(shí),
有兩個(gè)零點(diǎn).
【解析】
(Ⅰ)由題意得,求得函數(shù)的單調(diào)性后即可求出最值;
(Ⅱ)求導(dǎo)得,當(dāng)
時(shí),
在
上單調(diào)遞減,由
即可得解;當(dāng)
時(shí),
在
處取得極大值,令
,根據(jù)
、
和
分類討論,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可得解.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
,
,
當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
因,
故,
.
(Ⅱ)因,
.
當(dāng)時(shí)
在
上恒成立,
在
上單調(diào)遞減,又因?yàn)?/span>
,
有唯一的零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),有
時(shí)
,當(dāng)
時(shí)
,
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
在
處取得極大值,即最大值,
設(shè),
,
當(dāng)時(shí),有
,
,
在
上單調(diào)遞減,
在
上恒成立, 即
,
即
,
,
又因?yàn)?/span>,
在
上有一個(gè)零點(diǎn),
又,所以此時(shí)
有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),有
,
,
在
上單調(diào)遞增,
在
上恒成立, 即
,
令,則
,易知
,
,
,
在
上有一個(gè)零點(diǎn),又
,所以此時(shí)
有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),
,此時(shí)
有唯一的零點(diǎn);
綜上所述,當(dāng)或
時(shí),
只有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)或
時(shí),
有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線為
,
為
上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)
作拋物線
的切線,切點(diǎn)分別為
.
(I)求證:是直角三角形;
(II)軸上是否存在一定點(diǎn)
,使
三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)圖象在
處的切線與x軸平行.
(1)討論方程根的個(gè)數(shù);
(2)設(shè),若對于任意的
,總存在
,使得
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中,下列說法正確的是( )
A.若的觀測值為6.635,我們有
的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病
B.從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí),我們就說某人吸煙,那么他有
的可能患有肺病
C.若從統(tǒng)計(jì)量中求出有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,是指有
的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤
D.以上三種說法都不正確
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,過其焦點(diǎn)
的直線與拋物線相交于
、
兩點(diǎn),滿足
.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為
,記直線
、
的斜率分別為
,
,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年8月8日是我國第十一個(gè)全民健身日,其主題是:新時(shí)代全民健身動(dòng)起來.某市為了解全民健身情況,隨機(jī)從某小區(qū)居民中抽取了40人,將他們的年齡分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試求這40人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)值;
(2)若從樣本中年齡在[50,70)的居民中任取2人贈(zèng)送健身卡,求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了去年該機(jī)構(gòu)所有消費(fèi)者的消費(fèi)金額(單位:元),如下圖所示:
(1)將去年的消費(fèi)金額超過 3200 元的消費(fèi)者稱為“健身達(dá)人”,現(xiàn)從所有“健身達(dá)人”中隨機(jī)抽取 2 人,求至少有 1 位消費(fèi)者,其去年的消費(fèi)金額超過 4000 元的概率;
(2)針對這些消費(fèi)者,該健身機(jī)構(gòu)今年欲實(shí)施入會制,詳情如下表:
會員等級 | 消費(fèi)金額 |
普通會員 | 2000 |
銀卡會員 | 2700 |
金卡會員 | 3200 |
預(yù)計(jì)去年消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者今年都將會申請辦理普通會員,消費(fèi)金額在
內(nèi)的消費(fèi)者都將會申請辦理銀卡會員,消費(fèi)金額在
內(nèi)的消費(fèi)者都將會申請辦理金卡會員. 消費(fèi)者在申請辦理會員時(shí),需-次性繳清相應(yīng)等級的消費(fèi)金額.該健身機(jī)構(gòu)在今年底將針對這些消費(fèi)者舉辦消費(fèi)返利活動(dòng),現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案:
方案 1:按分層抽樣從普通會員, 銀卡會員, 金卡會員中總共抽取 25 位“幸運(yùn)之星”給予獎(jiǎng)勵(lì): 普通會員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 500 元; 銀卡會員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 600 元; 金卡會員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 800 元.
方案 2:每位會員均可參加摸獎(jiǎng)游戲,游戲規(guī)則如下:從-個(gè)裝有 3 個(gè)白球、 2 個(gè)紅球(球只有顏色不同)的箱子中, 有放回地摸三次球,每次只能摸-個(gè)球.若摸到紅球的總數(shù)消費(fèi)金額/元為 2,則可獲得 200 元獎(jiǎng)勵(lì)金; 若摸到紅球的總數(shù)為 3,則可獲得 300 元獎(jiǎng)勵(lì)金;其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì). 規(guī)定每位普通會員均可參加 1 次摸獎(jiǎng)游戲;每位銀卡會員均可參加 2 次摸獎(jiǎng)游戲;每位金卡會員均可參加 3 次摸獎(jiǎng)游戲(每次摸獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立) .
以方案 2 的獎(jiǎng)勵(lì)金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),請你預(yù)測哪-種方案投資較少?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知(
是虛數(shù)單位)是關(guān)于
的方程
的根,
、
,求
的值;
(2)已知(
是虛數(shù)單位)是關(guān)于
的方程
的一個(gè)根,
、
,求
的值.
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