Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是等腰直角三角形（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱叫做直三棱柱），，A₁C₁=1，，D是線段A₁B₁的中點．
（1）證明：平面AC₁D⊥平面A₁B₁BA；
（2）證明：B₁C∥平面A C₁D；
（3）求棱柱ABC-A₁B₁C₁被平面AC₁D分成的兩部分的體積之比．

Answer 1

解：（1）∵△A₁B₁C₁是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁=90°且D是線段A₁B₁的中點
∴C₁D⊥A₁B₁
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴平面A₁B₁C₁⊥平面A₁B₁BA
又∵平面A₁B₁C₁與平面A₁B₁BA的交線為A₁B₁
∴C₁D⊥平面A₁B₁BA …（3分）
又C₁D?平面AC₁D …（4分），
∴平面AC₁D⊥平面A₁B₁BA …（5分）
（2）連接A₁C，交AC₁于M，連接DM，則
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是矩形 …（6分）
∴M是A₁C的中點，
∴△A₁B₁C中，DM是中位線，可得DM∥B₁C …（7分）
又DM?平面AC₁D B₁C?平面AC₁D …（8分）
∴B₁C∥平面AC₁D …（9分）
（3）由（1）得，在Rt△A₁B₁C₁中，A₁C₁=B₁C₁=1，D為A₁B₁中點
∴S_△A1C1D=S_△A1B1C1=（）= …（11分）
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面A₁B₁C₁
∴是三棱錐A-A₁C₁D的高，也是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高 …（12分）
∴== …（13分）
∴棱柱ABC-A₁B₁C₁被平面AC₁D分成的兩部分的體積之比為…（14分）
分析：（1）在等腰Rt△A₁B₁C₁中利用三線合一，證出C₁D⊥A₁B₁，再根據(jù)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁B₁C₁⊥平面A₁B₁BA，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，得到C₁D⊥平面A₁B₁BA，最后利用線面垂直的判定，可得平面AC₁D⊥平面A₁B₁BA；
（2）利用三角形的中位線定理得到DM∥B₁C，再結(jié)合線面平行的判定定理可得到B₁C∥平面A C₁D；
（3）利用棱柱ABC-A₁B₁C₁與三棱錐A-A₁C₁D有相同的高，結(jié)合Rt△A₁B₁C₁中S_△A1C1D=S_△A1B1C1，不難算出三棱錐A-A₁C₁D與棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積之比為，從而得到棱柱ABC-A₁B₁C₁被平面AC₁D分成的兩部分的體積之比．
點評：本題給出一個特殊的直三棱柱，要我們證明線面平行和面面垂直，并求體積的比，著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的證明，屬于中檔題．