【答案】
分析:(Ⅰ)根據(jù)題意△a
n=a
n+1-a
n=(n+1)
2-(n+1)-n
2+n=5n-4,所以△a
n+1-△a
n=6.由此能夠證明{△a
n}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)由△
2 a
n-△a
n+1+a
n=-2
n,知△a
n-a
n=2
n.由此入手能夠求出數(shù)列{a
n}的通項公式,從而求數(shù)列{b
n}的通項公式;
(Ⅲ)由a
n=n•2
n-1,c
n=

=

=

,當(dāng)n≥2,n∈N
*時,

,從而可證.
解答:解:(Ⅰ)根據(jù)題意:△a
n=a
n+1-a
n=3(n+1)
2-5(n+1)-3n
2+5n=6n-2.(2分)
∴△a
n+1-△a
n=6
∴數(shù)列{△a
n}是首項為4,公差為6的等差數(shù)列.(3分)
(Ⅱ)由△
2a
n-△a
n+1+a
n=-2
n,∴△a
n+1-△a
n-△a
n+1+a
n=-2
n,⇒△a
n-a
n=2
n.
而△a
n=a
n+1-a
n,∴a
n+1-2a
n=2
n,(5分)
∴

-

=

,即b
n+1-b
n=

,(6分)
∴數(shù)列{b
n}構(gòu)成以

為首項,

為公差的等差數(shù)列,即b
n=

.(7分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知

=

,則a
n=n•2
n-1,
∴c=

=

=

(9分)
∴當(dāng)n≥2,n∈N*時

=

=

(

-

),
∴c
1+

++

=1+

[(

-

)+(

-

)+(

-

)++(

-

)+(

-

)]
=1+

(

+

-

-

)<1+

(

+

)=

.
當(dāng)n=1時,c
1=1<

,顯然成立
∴c
1+

++

<

.(12分)
點評:第(Ⅰ)題考查等差數(shù)列的證明,解題時要注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運用;第(Ⅱ)題考查數(shù)列通項公式的求解方法,解題時要注意構(gòu)造法的合理運用;第(Ⅲ)題考查數(shù)列前n項和的證明,解題時要注意裂項求和法的合理運用.