已知函數(shù).
⑴求函數(shù)在處的切線方程；
⑵當時，求證：；
⑶若，且對任意恒成立，求k的最大值.

⑴；⑵詳見解析；⑶的最大值是3.

解析試題分析：⑴曲線在點處的切線方程為：，所以求出導數(shù)及切點即得切線方程；⑵不失一般性，左右兩邊作差得：，接下來用重要不等式比較真數(shù)的大小即可.⑶首先分離參數(shù).由于，所以可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8d/d/49x6b1.png" style="vertical-align:middle;" />.令，則，注意到，則取最大整數(shù)即可.接下來就利用導數(shù)求則的最小值.
試題解析：⑴
∴故切線斜率
∴所切線方程：.              .3分
⑵由題可知：


∵
∴
∴.   8分
⑶令
令在上單調遞增.
∵
∴所以存在唯一零點，即.
當時，；
當時，；
∴在時單調遞減；在時，單調遞增；
∴
由題意，又因為，所以的最大值是3.      14分
考點：1、導數(shù)的應用；2、導數(shù)與不等式.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若在處的切線與直線垂直，求的值；
（2）求在上的最小值；
（3）試探究能否存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上具有相同的單調性？若能存在，說明區(qū)間的特點，并指出和在區(qū)間上的單調性；若不能存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．當時，函數(shù)取得極值．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若方程有3個解，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）證明：對任意的，存在唯一的，使；
（3）設（2）中所確定的關于的函數(shù)為，證明：當時，有.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中a為常數(shù)．
（1）當時，求的最大值；
（2）若在區(qū)間（0，e］上的最大值為，求a的值；
（3）當時，試推斷方程=是否有實數(shù)解．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)，.
（1）若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；
（2）求函數(shù)的極值點.
（3）設為函數(shù)的極小值點，的圖象與軸交于兩點,且，中點為，
求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求實數(shù)的值；
（2）若函數(shù)在處取得極小值，且，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，函數(shù)在上有三個零點，且是其中一個零點．
（1）求的值；
（2）求的取值范圍；
（3）設，且的解集為，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求的單調區(qū)間和極值；
（2）設，，且，證明：.

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