已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠ABC＝120°，又PC⊥平面ABCD，PC＝a，E是PA的中點(diǎn)．

1)求證：平面EBD⊥平面ABCD；

2)求直線PB與直線DE所成的角的余弦值；

3)設(shè)二面角A－BE－D的平面角q ，求cosq 的值

答案：
解析：

　　∵PC⊥平面ABCD，∴以C為原點(diǎn)，CA所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

　　∵ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠ABC＝120°，PC＝a，E是PA的中點(diǎn)．

　　∴C(0，0，0)，A(0，a，0)，B(－a，a，0)，D(a，a，0)．P(0，0，a)，∵E是PA的中點(diǎn)，∴E(0，a，a，)．　　3分

　　1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)Q，則Q(0，a，0)，∴＝(0，0，a，)，

　　∵＝2，∴PC⊥平面ABCD，∴QE⊥平面ABCD．

　　平面EBD⊥平面ABCD．　　3分

　　2)∵·＝(－a，a，－a)·(－a，0，a，)＝－a2．

　　||＝a，||＝a，

　　∴cos＜，＞＝＝－　　4分

　　3)設(shè)平面ABE的法向量為p＝(x，y，z)，可得p＝(－，1，)，

　　又AC⊥BC，得AC⊥面BDE，又＝(0，a，0)，

　　∴取平面BDE的法向量q＝(0，，0)，

　　∴p·q＝，|p|＝，|q|＝．

　　∴cosq ＝．　　4分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點(diǎn)，AE與BD交于O點(diǎn)，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點(diǎn)，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山東省濟(jì)寧一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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