Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（a為實數(shù)）．
（Ⅰ）當a=5時，求函數(shù)y=g（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）若存在兩不等實根x₁，x₂∈[

1

e

，e]，使方程g（x）=2e^xf（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a=5代入函數(shù)g（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，得到g（1）和g′（1），由直線方程的點斜式得切線方程；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在[t，t+2]上的單調(diào)區(qū)間，求出極值和區(qū)間端點值，比較大小后得到
f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e^xf（x），分離變量a，然后構(gòu)造函數(shù)h(x)=x+2lnx+

3

x

，由導(dǎo)數(shù)求出其在[

1

e

，e]上的最大值和最小值，則實數(shù)a的取值范圍可求．

解答： 解：（Ⅰ）當a=5時，g（x）=（-x²+5x-3）-e^x，g（1）=e．
g′（x）=（-x²+3x+2）-e^x，故切線的斜率為g′（1）=4e
∴切線方程為：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e；
（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值（最小值）	單調(diào)遞增

①當t≥

1

e

時，在區(qū)間（t，t+2）上f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt；                                      
②當0＜t＜

1

e

時，在區(qū)間(t，

1

e

)上f（x）為減函數(shù)，在區(qū)間(

1

e

，e)上f（x）為增函數(shù)，
∴f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；                                     
（Ⅲ） 由g（x）=2e^xf（x），可得：2xlnx=-x²+ax-3，
a=x+2lnx+

3

x

，
令h(x)=x+2lnx+

3

x

，h′(x)=1+

2

x

-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

．

x	( 1 e ，1)	1	（1，e）
h′（x）	-	0	+
h（x）	單調(diào)遞減	極小值（最小值）	單調(diào)遞增

h(

1

e

)=

1

e

+3e-2，h（1）=4，h（e）=

3

e

+e+2．
h(e)-h(

1

e

)=4-2e+

2

e

＜0．
∴使方程g（x）=2e^xf（x）存在兩不等實根的實數(shù)a的取值范圍為4＜a≤e+2+

3

e

．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，關(guān)鍵在于由導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性，考查利用構(gòu)造函數(shù)法求解含字母系數(shù)的范圍問題，解答的技巧是分類字母系數(shù)，是高考試卷中的壓軸題．