Question

已知函數f（x）=log₂（x+2），a，b，c是兩兩不相等的正數，且a，b，c成等比數列，試判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：等比數列的通項公式,對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：首先利用等比數列得到b²=ac，進一步轉化為：b=

ac

，再利用作差法進行數和式的大小比較．注意在運算過程中注意基本不等式的應用．

解答： 結論是：f（a）+f（c）≥2f（b）
證明：a，b，c是兩兩不相等的正數，且a，b，c成等比數列，
則：b²=ac
進一步整理得：b=

ac

所以：f（a）+f（c）=log₂（a+2）+log₂（c+2）=log₂（a+2）（c+2）
2f（b）=log2(b+2)2
要確定f（a）+f（c）與2f（b）的大小關系，只需確定（a+2）（c+2）與（b+2）²的大小即可
所以令：（a+2）（c+2）-（b+2）²
=ac+2a+2c+4-b²-4b-4
=2a+2c-4b
=2a+2c-4

ac

根據基本不等式：2a+2c≥4

ac

所以：（a+2）（c+2）-（b+2）²≥0
則：f（a）+f（c）≥2f（b）

點評：本題考查的知識要點：數或式子的大小比較，利用對數的單調性和基本不等式進行證明，屬于基礎題型．