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已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上任意一點到兩焦點距離之和為2
3
，離心率為
3
3
，左、右焦點分別為F1，F2，點P是右準線上任意一點，過F2作直線PF2的垂線F2Q交橢圓于Q點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）點P的縱坐標為3，過P作動直線l與橢圓交于兩個不同點M、N，在線段MN上取點H，滿足
MP
PN
=
MH
HN
，試證明點H恒在一定直線上．
分析：（1）由題意可得
2a=2
3
e=
c
a
=
3
3
a2=b2+c2
，解出即可；
（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為x=
a2
c
=3，設P（3，y0），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得kQF2•kPF2=-1，利用斜率計算公式可得kPQ•kOQ及
y
2
1
=2(1-
x
2
1
3
)代入化簡得直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．
（3）設過P（3，3）的直線l與橢圓交于兩個不同點M（x1，y1），N（x2，y2），點H（x，y），由點M，N在橢圓上可得2
x
2
1
+3
y
2
1
=6，2
x
2
2
+3
y
2
2
=6．
設
MP
PN
=
MH
HN
=λ，則
MP
=-λ
PN
，
MH
=λ
NH
，可得（3-x1，3-y1）=-λ（x2-3，y2-3），（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y），即可證明6x+9y為定值．
解答：解：（1）由題意可得
2a=2
3
e=
c
a
=
3
3
a2=b2+c2
，解得a=
3
，c=1，b=
2

所以橢圓E：
x2
3
+
y2
2
=1．
（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為x=
a2
c
=3，
設P（3，y0），Q（x1，y1），
因為PF2⊥F2Q，所以kQF2kPF2=
y0
2
•
y1
x1-1
=
y0y1
2(x1-1)
=-1，
所以-y1y0=2（x1-1）
又因為kPQ•kOQ=
y1
x1
•
y1-y0
x1-3
=
y
2
1
-y1y0
x
2
1
-3x1
且
y
2
1
=2(1-
x
2
1
3
)代入化簡得kPQ•kOQ=-
2
3
．
即直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值-
2
3
．
（3）設過P（3，3）的直線l與橢圓交于兩個不同點M（x1，y1），N（x2，y2），點H（x，y），
則2
x
2
1
+3
y
2
1
=6，2
x
2
2
+3
y
2
2
=6．
設
MP
PN
=
MH
HN
=λ，則
MP
=-λ
PN
，
MH
=λ
NH
，
∴（3-x1，3-y1）=-λ（x2-3，y2-3），（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y）
整理得3=
x1-λx2
1-λ
，x=
x1+λx2
1+λ
，3=
y1-λy2
1-λ
，y=
y1+λy2
1+λ
，
∴從而3x=
x
2
1
-λ2
x
2
2
1-λ2
，3y=
y
2
1
-λ2
y
2
2
1-λ2
，
由于2
x
2
1
+3
y
2
1
=6，2
x
2
2
+3
y
2
2
=6，∴我們知道
x
2
1
與
y
2
1
的系數之比為2：3，
x
2
2
與
y
2
2
的系數之比為2：3．
∴6x+9y=
2
x
2
1
-2λ2
x
2
2
+3
y
2
1
-3λ2
y
2
2
1-λ2
=
2
x
2
1
+3
y
2
1
-λ2(2
x
2
2
+3
y
2
2
)
1-λ2
=6，
所以點H恒在直線2x+3y-2=0上．
點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數的關系、向量運算、斜率計算公式等基礎知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
2
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關系；
（3）是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經過點B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-
3
，0)，而且過點H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

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