Question

如圖，在四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求證：EF、GH、BD交于一點．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵E、G分別為BC、AB的中點， 　　∴GE∥AC． 　　又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， 　　∴FH∥AC，從而FH∥GE．故E、F、H、G四點共面． 　　∵AG∶GB＝1∶1，AH∶HD＝3∶2， 　　∴AG∶GB≠AH∶HD． 　　∴GH不平行于BD． 　　同理，EF也不平行于BD． 　　∴GH∥EF． 　　∴四邊形EFHG是一個梯形，GH和EF交于一點O． 　　∵O在平面ABD內(nèi)，又在平面BCD內(nèi)， 　　∴O在這兩平面的交線上．而這兩個平面的交線是BD，且交線只有這一條． 　　∴點O在直線BD上． 　　∴EF、GH、BD交于一點． 　　思路分析：證明時可以首先證明GH和EF共面交于一點O，然后說明O是平面ABD和平面BCD的公共點，而平面ABD和平面BCD相交于直線BD，根據(jù)公理2，兩平面相交，有且只有一條交線．因此點O在交線上，即點O在直線BD上．從而證明了直線EF、GH、BD都過點O．在該題中還涉及證明E、F、H、G四點共面的問題，又利用了公理2的推論．

提示：

證明三線共點常用的方法是先說明兩條直線共面且相交于一點，然后說明這個點在兩個平面上，并且這兩個平面相交，于是得到交線也過此點，從而得到三線共點．