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    已知f(x)=x+asinx.
    (Ⅰ) 若a=2,求f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間;
    (Ⅱ)當常數(shù)a≠0時,設(shè)g(x)=
    f(x)
    x
    ,求g(x)在[
    π
    6
    6
    ]上的最大值.
    分析:(Ⅰ)把a=2代入f(x),然后對f(x)進行求導,可以令f′(x)<0,解出x的范圍即可;
    (Ⅱ)常數(shù)a≠0時,設(shè)g(x)=
    f(x)
    x
    ,利用求導法則,對g(x)進行求導,求出x在[0,π]上的極值點,利用導數(shù)研究其最值問題;
    解答:解:(Ⅰ)當a=2時,f(x)=x+2sinx,所以f′(x)=1+2cosx,
    當f′(x)<0,cosx<-
    1
    2
    ,
    ∴f(x)在[0,π]上單調(diào)遞減區(qū)間為[
    2
    3
    π
    ,π].
    (Ⅱ)g(x)=
    f(x)
    x
    =1+
    asinx
    x
    ,
    g′(x)=
    a(xcosx-sinx)
    x2
    ,
    記h(x)=xcosx-sinx,x∈(0,π),
    h′(x)=-xsinx<0,對x∈(0,π)恒成立,
    ∴h(x)在x∈(0,π)上是減函數(shù),
    ∴h(x)<h(0)=0,即g′(x)<0,
    ①當a>0時,g(x)=
    f(x)
    x
    在(0,π)上是減函數(shù),得g(x)在[
    π
    6
    ,
    6
    ]上為減函數(shù),
    ∴當a=
    π
    6
    時,g(x)取得最大值1+
    3a
    π

    ②當a<0時,g(x)=
    f(x)
    x
    在(0,π)上是增函數(shù),得g(x)在[
    π
    6
    6
    ]上為增函數(shù),
    ∴當x=
    6
    時,g(x)取得最大值1+
    3a
    ;
    點評:此題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題,解題的關(guān)鍵是能夠?qū)(x)進行正確求導,此題是一道中檔題;
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    已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=x2-kx3.(k≥0)
    (Ⅰ)求g(x)的解析式;
    (Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
    (Ⅲ)若k=
    1
    3
    ,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導函數(shù),問是否存在實數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間[
    1
    2
    ,a]
    上的值域為[
    1
    a
    ,1]
    ,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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    (Ⅰ)求g(x)的解析式;
    (Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
    (Ⅲ)若數(shù)學公式,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導函數(shù),問是否存在實數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間數(shù)學公式上的值域為數(shù)學公式,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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    已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=x2-kx3.(k≥0)
    (Ⅰ)求g(x)的解析式;
    (Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
    (Ⅲ)若,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導函數(shù),問是否存在實數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間上的值域為,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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