Question

已知f（x）=x+asinx．
（Ⅰ） 若a=2，求f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當常數(shù)a≠0時，設(shè)g（x）=

f(x)

x

，求g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入f（x），然后對f（x）進行求導，可以令f′（x）＜0，解出x的范圍即可；
（Ⅱ）常數(shù)a≠0時，設(shè)g（x）=

f(x)

x

，利用求導法則，對g（x）進行求導，求出x在[0，π]上的極值點，利用導數(shù)研究其最值問題；

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x+2sinx，所以f′（x）=1+2cosx，
當f′（x）＜0，cosx＜-

1

2

，
∴f（x）在[0，π]上單調(diào)遞減區(qū)間為[

2

3

π，π]．
（Ⅱ）g（x）=

f(x)

x

=1+

asinx

x

，
g′（x）=

a(xcosx-sinx)

x2

，
記h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），
h′（x）=-xsinx＜0，對x∈（0，π）恒成立，
∴h（x）在x∈（0，π）上是減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0）=0，即g′（x）＜0，
①當a＞0時，g（x）=

f(x)

x

在（0，π）上是減函數(shù)，得g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上為減函數(shù)，
∴當a=

π

6

時，g（x）取得最大值1+

3a

π

，
②當a＜0時，g（x）=

f(x)

x

在（0，π）上是增函數(shù)，得g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上為增函數(shù)，
∴當x=

5π

6

時，g（x）取得最大值1+

3a

5π

；

點評：此題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)（x）進行正確求導，此題是一道中檔題；