Question

已知橢圓C：4x²+y²=1及直線l：y=x+m，m∈R．
（1）當m為何值時，直線l與橢圓C有公共點？
（2）若直線l被橢圓C截得的弦長為

2 2

5

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）將直線的方程y=x+m與橢圓的方程4x²+y²=1聯(lián)立，得到5x²+2mx+m²-1=0，利用△=-16m²+20≥0即可求得m的取值范圍；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理和判別式大于0，再由弦長公式，解得m，即可得到直線方程．

解答： 解：（1）把直線y=x+m代入橢圓方程得：4x²+（x+m）²=1，
即：5x²+2mx+m²-1=0，
△=（2m）²-4×5×（m²-1）=-16m²+20≥0
解得：-

5

2

≤m≤

5

2

；
（2）設(shè)該直線與橢圓相交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程5x²+2mx+m²-1=0的兩根，由韋達定理可得：
x₁+x₂=-

2m

5

，x₁x₂=

m2-1

5

，
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+1

•

(- 2m 5 )2- 4(m2-1) 5

=

2 2

5

，解得，m=±1．檢驗成立．
則所求直線的方程是：y=x+1或y=x-1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系與弦長問題，難點在于弦長公式的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．