Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
（1）記bn=

an

2n

，證明：數列{b_n}為等差數列．
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和為S_n．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的定義b_n+1-b_n=常數得b_n+1-b_n=1所以數列{b_n}為等差數列，其首項為1，公差為1．
（2）由（1）得b_n=1+（n-1）×1=n代入

an

2n

=n(n∈N*)得a_n=n2ⁿ再利用錯位相減法求數列a_n=n2ⁿ前n項和可得S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

解答：解：（1）由已知有：

an+1

2n+1

=

an

2n

+1(n∈N*)，
即：b_n+1-b_n=1（n∈N^*）
∴數列{b_n}為等差數列，其首項為1，公差為1       
（2）由（1）知：b_n=1+（n-1）×1=n（n∈N^*）
即：

an

2n

=n(n∈N*)∴a_n=n2ⁿ（n∈N^*）
∴S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n2ⁿ
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n2ⁿ⁺¹
兩式相減，得：
-Sn=21+22+23+…+2n-n2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n2n+1=2n+1-2-n2n+1
∴a_n=n2ⁿS_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2

點評：考查等差數列的定義是一類基礎題，求和方法中的錯位相減主要用于求數列{a_n•b_n}的前n項和的計算，{a_n}{b_n}分別是等差數列和等比數列．