(1)解不等式x|x-1|-2<|x-2|;
(2)已知x,y,z均為正數(shù).求證:
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z
考點(diǎn):綜合法與分析法(選修),絕對(duì)值不等式的解法
專題:計(jì)算題
分析:(1)分①當(dāng)x≥2、當(dāng)1≤x<2、當(dāng)x<1三種情況,分別求出不等式的解集,再取并集,即得所求.
(2)利用基本不等式證得
x
yz
+
y
zx
=
1
z
(
x
y
+
y
x
)≥
2
z
,同理可得
y
zx
+
z
xy
2
x
,
z
xy
+
x
yz
2
y
,將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加,并除以2,即得要證的不等式.
解答: 解:(1)①當(dāng)x≥2時(shí),原不等式為x(x-1)-2<x-2⇒0<x<2.又x≥2,∴x∈∅.
②當(dāng)1≤x<2時(shí),原不等式x(x-1)-2<2-x⇒-2<x<2.又1≤x<2,∴1≤x<2.
③當(dāng)x<1時(shí),原不等式x(1-x)-2<2-x⇒x∈R,又x<1,∴x<1.
綜上:原不等式的解集為{x|x<2}.
(2)證明:因?yàn)閤,y,z均為正數(shù).所以
x
yz
+
y
zx
=
1
z
(
x
y
+
y
x
)≥
2
z
,
同理可得
y
zx
+
z
xy
2
x
z
xy
+
x
yz
2
y
,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí),以上三式等號(hào)都成立.
將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加,并除以2,得
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z
點(diǎn)評(píng):本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,用綜合法證明不等式,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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ex

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