Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC底面ABCD．已知ABC=45o，AB=2，BC=2，SA=SB=．

(1)證明：SABC；

(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）詳見解析，（2）.

【解析】

試題分析：（1）已知條件為面面垂直，因此由面面垂直性質(zhì)定理轉化為線面垂直. 作，由側面底面，得平面.證明線線垂直，有兩個思路，一是通過線面垂直轉化，二是利用空間向量計算.本題考慮到第二小題，采取空間向量方法. 利用空間向量以算代證，關鍵正確表示各點及對應向量的坐標，利用空間向量數(shù)量積進行論證.（2）利用空間向量求線面角，關鍵正確求出平面的一個法向量，利用兩向量夾角的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值的等量關系進行求解.

試題解析：（1）作，垂足為，連結，

由側面底面，

得平面 ..2

因為，所以 3

又，為等腰直角三角形， 4

如圖，以為坐標原點，為軸正向，建立直角坐標系.

，，，， 6

，，，所以 8

（2）設為平面SAB的法向量

則 得 所以

令x=1 10

12

與平面所成的角與與所成的角互余．

所以，直線與平面所成的角正弦值為 13

考點：面面垂直性質(zhì)定理，空間向量求證線線垂直，空間向量求線面角