Question

已知函數f（x）=x³-3x（x∈R）．
（1）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個不同交點，求實數b的取值范圍；
（2）若?x∈[-3，3]時，f（x）+m＜0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-3，利用導數性質求出x=-1時，f（x）取極大值f（-1）=2，x=1時，f（x）取極小值f（1）=-2．由直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個不同交點，結合函數圖象，知實數b的取值范圍是（-2，2）．
（2）由導數性質求出f（x）_max=f（3）=18，由f（x）+m＜0恒成立，知-m＞f（x）_max=f（3）=18，由此能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3x（x∈R），
∴f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=3x²-3＞0，得x＜-1或x＞1．
由f′（x）=3x²-3＜0，得-1＜x＜1．
∴f（x）=x³-3x的增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），減區(qū)間為（-1，1），
∴x=-1時，f（x）取極大值f（-1）=2，
x=1時，f（x）取極小值f（1）=-2．
直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個不同交點，
結合函數圖象，知實數b的取值范圍是（-2，2）．
（2）由（1）知x=-1時，f（x）取極大值f（-1）=2，
x=1時，f（x）取極小值f（1）=-2，
又f（-3）=-18，f（3）=18，
∴f（x）_max=f（3）=18，
∵f（x）+m＜0恒成立，
∴-m＞f（x）_max=f（3）=18，
∴m＜18．

點評：本題考查實數的取值范圍的求法，涉及到函數在閉區(qū)間上的極值和最值的求法、函數的單調區(qū)間的求法，解題時要認真審題，注意導數性質和數形結合思想的合理運用．