Question

如圖5, 已知拋物線，直線與拋物線交于兩點，，，與交于點.

(1)  求點的軌跡方程；

(2)  求四邊形的面積的最小值.

 

                                                          圖5

Answer 1

解法一:

（1）解：設，

     ∵，

     ∴是線段的中點.                         

     ∴，①           

       .                      ②          

     ∵，  ∴.

     ∴.                           

     依題意知，

     ∴.                        ③           

把②、③代入①得：，即.      

∴點的軌跡方程為.                     

 (2)解：依題意得四邊形是矩形，

   ∴四邊形的面積為

   

 

 

  .                                     

∵，當且僅當時，等號成立，

∴.                                      

∴四邊形的面積的最小值為.                        

解法二:

(1)解:依題意,知直線的斜率存在,設直線的斜率為,

      由于,則直線的斜率為.        

      故直線的方程為,直線的方程為.

      由  消去,得.

      解得或.                     

      ∴點的坐標為.            

      同理得點的坐標為.              

      ∵，

      ∴是線段的中點.                

      設點的坐標為,

      則                    

      消去,得.                

∴點的軌跡方程為.        

(2)解：依題意得四邊形是矩形，

   ∴四邊形的面積為

         

                                        

                                      

  .                                               

當且僅當,即時,等號成立.              

∴四邊形的面積的最小值為.                        …