Question

已知：A，B，C是直線l上的點，O是直線l外一點，且

OA

-[f(x)+

f(1)

3

]

OB

+x3

OC

=

0

，若當(dāng)x∈[-1，1]時，af（x）-3x+1≥0恒成立，則實數(shù)a的值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義,函數(shù)恒成立問題

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由

OA

-[f(x)+

f(1)

3

]

OB

+x3

OC

=

0

，求出f（x）=x³-

1

4

，af（x）-3x+1≥0為a（x³-

1

4

）-3x+1≥0，分類討論，分離參數(shù)，即可求出實數(shù)a的值．

解答： 解：∵A，B，C是直線l上的點，O是直線l外一點，且

OA

-[f(x)+

f(1)

3

]

OB

+x3

OC

=

0

，
∴f（x）+

f(1)

3

-x³=0，
∴f（1）+

f(1)

3

-1=0，
∴f（1）=

3

4

，
∴f（x）=x³-

1

4

，
∴af（x）-3x+1≥0為a（x³-

1

4

）-3x+1≥0
（1）a=0時，-3x+1≥0在[-1，1]上不能恒成立
（2）a＜0時，f′（x）=3ax²-3＜0，f（x）是減函數(shù)，其最小值為f（1）．
若對x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，則需f（1）≥0
即

3

4

a-3+1≥0，
∴a≥

8

3

，
∵a＜0，∴此時無解．
（3）a＞0時，f（x）=a（x³-

1

4

）-3x+1≥0恒成立，x∈[-1，1]，
①x=0時，-

a

4

+1≥0成立，∴a≥4
②0＜x≤1時，a≥

3x-1

x3

令g（x）=

3x-1

x3

，求導(dǎo)得g′（x）=

-6x+3

x4

易知0＜x＜

1

2

時函數(shù)遞增，

1

2

＜x＜1時遞減，
∴g（x）最大值為g（

1

2

）=4，
∴a≥4
③-1≤x＜0時，a≤

3x-1

x3

令g（x）=

3x-1

x3

，求導(dǎo)得g′（x）=

-6x+3

x4

可知g（x）在-1＜x＜0時是增函數(shù)，其最小值為g（-1）=4
∴a≤4
由②知a≥4，
∴a=4．
綜上知a=4．

點評：本題考查平面向量的基本定理，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查分離參數(shù)法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．