Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}（x+1）+x-1（x＞0）}\\{x-（\frac{1}{4}）^{x+1}+3（x≤0）}\end{array}\right.$，若f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x₁，x₂，則|x₁-x₂|=（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{3}{2}$+ln2

Answer 1

分析 由題意分別討論兩段函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后結(jié)合互為反函數(shù)圖象的對(duì)稱性及圖象平移求解．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₄（x+1）+x-1，
由f（x）=0，可得x-1=$-lo{g}_{4}（x+1）=lo{g}_{\frac{1}{4}}（x+1）$；
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x-$（\frac{1}{4}）^{x+1}$+3，
由f（x）=0，可得$（\frac{1}{4}）^{x+1}=x+3$．
作出函數(shù)圖象如圖：
∵函數(shù)y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$與y=$（\frac{1}{4}）^{x}$互為反函數(shù)，則其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
而$y=lo{g}_{\frac{1}{4}}（x+1）$與$y=（\frac{1}{4}）^{x+1}$分別是把y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$與y=$（\frac{1}{4}）^{x}$向左平移1個(gè)單位得到的，
∴兩函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，
又直線y=x-1與y=x+3也關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，
不妨設(shè)y=x+3（x≤0）與y=$（\frac{1}{4}）^{x+1}$的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，y=x-1（x＞0）與y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}（x+1）$的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₂，
則|x₁-x₂|=$\frac{|AB|}{2}=\frac{4}{2}=2$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．