Question

若n=

∫

2 1

(3x2-2)dx，則（x+2）¹⁰（x²-1）展開式中xⁿ⁺⁵的系數(shù)是

 

；

Answer 1

分析：利用微積分基本定理求出n，將x+2）¹⁰（x²-1）展開式中xⁿ⁺⁵的系數(shù)轉化為（x+2）¹⁰的項的系數(shù)，利用二項展開式的通項公式求出
（x+2）¹⁰的通項求出展開式的系數(shù)．

解答：解：n=∫₁²（3x²-2）dx=（x³-2x）|₁²=5
（x+2）¹⁰（x²-1）展開式中xⁿ⁺⁵的系數(shù)為（x+2）¹⁰（x²-1）展開式中的x¹⁰系數(shù)
即（x+2）¹⁰展開式中x⁸的系數(shù)減去x¹⁰的系數(shù)
（x+2）¹⁰展開式的通項T_r+1=2^rC₁₀^rx^10-r
令10-r=8得r=2故展開式x⁸的系數(shù)是4C₁₀²=180
令10-r=10得r=0故展開式x¹⁰的系數(shù)是1
故（x+2）¹⁰（x²-1）展開式中xⁿ⁺⁵的系數(shù)是179
故答案為：179

點評：本題考查微積分基本定理、等價轉化的數(shù)學思想、利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．