已知:如圖,PD⊥平面ABCD,AD⊥DC,AD∥BC,PD∶DC∶BC=1∶1∶.
(Ⅰ)求PB與平面PDC所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角D—PB—C的正切值;
(Ⅲ)若AD=BC,E為PC中點,求證DE∥平面PAB.
(Ⅰ)解:由PD⊥平面ABCD, BC 由AD⊥DC,AD∥BC,得BC⊥DC. 又PD∩DC=D,則BC⊥平面PDC 所以∠BPC為直線PB與平面PDC所成的角 令PD=1,則DC=1,BC= 由BC⊥平面PDC,PC 在Rt△PBC中,由PC=BC得∠BPC= 即直線PB與平面PDC所成的角為 (Ⅱ)解法(一): 取PC中點E,連DE,則DE⊥PC. 由BC⊥平面PDC,BC 則DE⊥平面PBC 作EF⊥PB于F,連DF, 由三垂線定理,得DF⊥PB. 則∠DFE為二面角D—PB—C的平面角 在Rt△PDC中,求得DE= 在Rt△PFE中,求得EF= 在Rt△DFE中,tan∠DFE= 即二面角D—PB—C的正切值為 解法(二): 由PD⊥平面ABCD,PD 作CH⊥BD于H,則CH⊥平面PDB. 作HF⊥PB于F,連CF,由三垂線定理得CF⊥PB. 則∠CFH為二面角D—PB—C的平面角 在等腰Rt△PBC中,求出斜邊上的中線CF=1. 在Rt△DBC中,求出DB= 在Rt△FHC中,求出HF= 即二面角D—PB—C的正切值為 (Ⅲ)證:取PB中點G,連AG和EG.由三角形中位線定理得GE∥BC,GE= 由已知,AD∥BC,AD= ∴AD=GE,AD∥GE. 則四邊形AGED為平行四邊形, ∴AG∥DE 又AG ∴DE∥平面PAB. |
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源:訓練必修二數(shù)學蘇教版 蘇教版 題型:044
如圖,已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=,設(shè)點E是棱PB上的動點(不含端點),過點A、D、E的平面交棱PC于點F.
(1)求證:BC∥EF;
(2)求二面角A-PB-D的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);
(3)試確定點E的位置,使PC⊥平面ADFE,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源:朝陽區(qū)一模 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(1)求證:BC∥EF;
(2)求二面角A-PB-D的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);
(3)試確定點E的位置,使PC⊥平面ADFE,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源:2004年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題
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